Matematica Parte 2

In questo volume si sviluppano i concetti e gli strumenti fondamentali dell’Analisi Infinitesimale per funzioni reali di due variabili reali. Tra i contenuti si citano i seguenti. Curve regolari del piano. Equazioni parametriche, vettore velocità istantanea, retta tangente. Equazioni parametriche di segmenti di retta, di archi di circonferenza, di archi di ellisse e di iperbole, di grafici di funzioni. Lunghezza degli archi di curva regolare. Curve regolari a tratti, semplici e chiuse. Regioni del piano. Frontiera, interno ed esterno di una regione. Regioni limitate e non. Rappresentazione del bordo e dell’interno. Strisce limitate e illimitate. Regioni aperte e chiuse. Connessione semplice e multipla. Campi scalari piani e funzioni di due variabili. Funzioni lineari e polinomiali. Funzioni razionali. Composizioni di campi scalari. Insiemi di definizione massimale. Restrizioni a curve regolari. Isolinee. Limiti, continuità e differenziabilità di campi scalari piani. Funzioni infinitesime in due variabili, calcolo dei limiti e continuità. Differenziabilità in un punto interno e vettore gradiente. Derivate parziali e direzionali. Analisi locale intorno a punti non stazionari. Campi vettoriali piani. Componenti polari e cartesiane di un campo vettoriale. Algebra dei campi vettoriali. Linee di campo. Differenziabilità due volte di un campo scalare e matrice Hessiana. Continuità e differenziabilità. Matrice Jacobiana e formula di Taylor per un campo vettoriale. Integrale curvilineo e campi potenziali. Rotazionale e divergenza di un campo vettoriale piano. Analisi locale del secondo ordine. Classificazione dei punti stazionari di un campo scalare piano. Classificazione di funzioni quadratiche in due variabili. Spettro di una matrice simmetrica. Punti stazionari ellittici e punti stazionari iperbolici. Massimi e minimi. Massimizzazione di un campo vincolato ad un arco di curva regolare. Teorema di Weierstrass (sulle funzioni continue in un insieme chiuso e limitato) in dimensione due. Teorema sugli estremanti globali su un dominio chiuso e limitato. Minimi e massimi in domini non limitati. Spazio tridimensionale. Punti e vettori dello spazio. Algebra vettoriale. Curve regolari dello spazio. Piani dello spazio. Grafico di una funzione di due variabili. Curve coordinate e piano tangente. Grafici di funzioni quadratiche: iperboloidi e paraboloidi. Superfici regolari dello spazio. Sfera e cilindro. Coordinate curvilinee nello spazio. Integrazione doppia. Somme di Riemann e integrabilità di funzioni di due variabili. Proprietà dell’integrazione doppia. Integrazione doppia e volumi dello spazio. Teorema di Fubini. Integrali curvilinei e integrazione doppia: teorema di Green.