Matematica Parte 1

In questo volume si sviluppano i concetti e gli strumenti fondamentali dell’Analisi Infinitesimale per funzioni reali di una variabile reale. Tra i contenuti si citano i seguenti. Insiemi, Relazioni Strutture. Algebra degli insiemi. Relazioni tra insiemi e loro proprietà. Funzioni tra insiemi. Struttura algebrica dei Numeri Naturali. Principio di Induzione. Numeri Razionali. Calcolo frazionario e retta cartesiana. Rappresentazione decimale. Piano cartesiano razionale. Trasformazioni puntuali e rette. Funzioni razionali di variabile razionale e grafici. Funzioni lineari e polinomiali. Binomio di Newton. Equazioni quadratiche e irrazionalità di radice di 2. Insieme dei Numeri reali. Algoritmi di approssimazione successiva e successioni di razionali monotone e limitate. Successioni di Cauchy e numeri irrazionali. Calcolo reale. Retta cartesiana reale. Completezza. Funzioni reale di variabile reale. Funzioni potenza e funzioni esponenziale. Numero di Nepero e. Esponenziale e logaritmo naturale. Limiti e continuità. Funzioni infinitesime e convergenza in un punto. Calcolo dei limiti. Continuità. Continuità delle funzioni potenza, esponenziale e logaritmo. Discontinuità di prima specie. Teorema di Weierstrass (sulle funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato). Differenziabilità. Differenziabilità in un punto. Formula di Taylor. Retta tangente al grafico in suo punto. Differenziabilità delle funzioni elementari. Proprietà del calcolo differenziale. Punti stazionari e non stazionari. Teoremi di Rolle e Lagrange. Derivate successive al primo. Integrazione. Somme di Riemann e integrabilità su un intervallo. Proprietà del calcolo integrale. Teorema di Lagrange sul valor medio e teorema fondamentale. Primitive e teorema di Leibniz-Newton. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrali impropri. Lunghezza dei grafici. Funzioni Circolari. Lunghezza degli archi sulla circonferenza unitaria e definizione della funzione arcocoseno. Funzioni circolari seno e coseno e loro proprietà. Teoremi di addizione e duplicazione. Differenziabilità delle funzioni circolari. Funzioni circolari e coordinate polari di punti e vettori sul piano. Analisi locale e serie di Taylor. Polinomio di Taylor e formula di Taylor di ordine n. Approssimazione locale delle funzioni con stima dell’errore. Convessità locale. Serie di Taylor. Funzioni analitiche. Sviluppi in serie delle funzioni elementari.